Question

Вычислите площадь фигуры , ограниченными линиями y= -x^2 + 1 , y=x+1
с чертежом , спасибо за ранее )

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

y₁= -x² + 1;   y₂=x+1

строим график.

теперь пределы интегрирования как Вам понравится, так и считайте

а) по графтку х изменяется от -1 до 0

б) через уравнение у₁=у₂;  -х²+1=х+1;  -х² +1 -х -1=0; -х(х+1)=0; ⇒х₁ = -1; х₂=0

теперь формула.

$\int\limits^{x_2}_{x_1} {(y_1-y_2)} \, dx$     здесь есть одна хитрость. чтобы не получить отрицательную площадь, (хотя это и не страшно, просто ответ дается без знака минус, но это как-то не прилично), так вот, чтобы не получить отрицательное значение интеграла, за у₁ принимается функция, которая на графике располагается "выше". у нас это у = -х² + 1

(y₁ - y₂) = -x² + 1- x-1= -x² - x =

и вот теперь площадь

$S = \int\limits^0_{-1} {(-x^2-x)} \, dx = \int\limits^0_{-1} {(-x^2)} \, dx+ \int\limits^0_{-1} {(-x)} \, dx=-\frac{x^3}{3} I_{-1}^0 +(-\frac{x^2}{2}) I_{-1}^0=$

$=-\frac{1}{3} +\frac{1}{2} =\frac{1}{6}$