Question

использовать эквивалентность бесконечно малых

Answer 1

Ответ: 3/5.

Объяснение:

Для бесконечно малой arctg(3*x) эквивалентной бесконечной малой является бесконечно малая 3*x. Для доказательства используем правило Лопиталя: [arctg(3*x)]'=3/(1+9*x²), (3*x)'=3, так что [arctg(3*x)]'/(3*x)'=3/[3*(1+9*x²)]=1/(1+9*x²), и при x⇒0 [arctg(3*x)]'/(3*x)'⇒1. Заменяя теперь arctg(3*x) на 3*x, получаем выражение 3*x/(5*x-2*x²). Сократив числитель и знаменатель на x, приходим к выражению 3/(5-2*x). Его предел при x⇒0 равен 3/(5-2*0)=3/5.

Answer 2

Ответ:

$\lim\limits_{x \to 0}\ \dfrac{arctg3x}{5x-2x^2}= \lim\limits_{x \to 0}\ \dfrac{3x}{x(5-2x)}=\lim\limits _{x \to 0}\ \dfrac{3}{5-2x}=\dfrac{3}{5-2\cdot 0}=\dfrac{3}{5}\\\\\\\star \ \ arctg\alpha (x)\sim \alpha (x)\ ,\ esli\ \ \alpha (x)\to 0\ \ \star \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ arctg(3x)\sim 3x\ ,\ (3x)\to 0$