Question

Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд.

Answer 1

Ответ:

$\sum\limits _{n=1}^{\infty }\ \dfrac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n+1}}\\\\\\1)\ \ \sum\limits _{n=1}^{\infty }\ |\, a_{n}\, |=\sum\limits _{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\ \ ,\ \ \ \ \sum\limits _{n=1}^{\infty }\ b_{n}=\sum\limits _{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{\sqrt{n}}\ \ rasxod.\ garmonicheskij\\\\\\\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}<\dfrac{1}{\sqrt{n}}\ \ \ \to \ \ \ a_{n}<b_{n}$

Расходится мажорантный ряд, значит о минорантном ряде ничего нельзя сказать. Применим признак сравнения в предельной форме.

$\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{a_{n}}{b_{n}}=\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}=1\ \ \Rightarrow$   оба ряда ведут себя одинаково, то есть

оба расходятся .

Ряд из абсолютных величин расходится, значит нет абсолютной сходимости у знакочередующегося ряда.

2)  Проверим  условную сходимость по признаку Лейбница.

$a)\ \ \lim\limits _{n \to \infty}|\, a_n\, |=\lim\limits _{n \to \infty}\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}=0\\\\\\b)\ \ |a_1|>|a_2|>|a_3|>\ ...\ \ \ \ ,\ \ \ \ \dfrac{1}{\sqrt2}>\dfrac{1}{\sqrt3}>\dfrac{1}{\sqrt4}>\ ...$

Выполнены оба условия признака Лейбница.

Значит, знакочередующийся ряд сходится условно .