Question

Найти неопределенный интеграл
$\frac{x^3-9x+13}{(x-1)(x^2-3x+2)}$

Answer 1

Ответ:

$\int\limits \frac{ {x}^{3} - 9x + 13 }{(x - 1)( {x}^{2} - 3x + 2) } dx = \int\limits \frac{ {x}^{3} - 9x + 13 }{{x}^{3} - 3 {x}^{2} + 2x - {x}^{2} + 3x - 2}dx = \\ = \int\limits \frac{ {x}^{3} - 9x + 13}{ {x}^{3} - 4 {x}^{2} + 5x - 2} dx$

Разделим числитель на знаменатель:

$\int\limits(1 + \frac{4 {x}^{2} - 14x + 15}{(x - 1)( {x}^{2} - 3x + 2) } )dx$

${x}^{2} - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$

$\int\limits(1 + \frac{4 {x}^{2} - 14x + 15 }{(x - 2) {(x - 1)}^{2} } )dx = \\ = \int\limits \: dx + \int\limits \frac{4 {x}^{2} - 14x + 15 }{(x - 2) {(x - 1)}^{2} } dx$

первый интеграл:

$\int\limits \: dx = x + C$

второй интеграл:

$\int\limits \frac{4 {x}^{2} - 14x + 15}{(x - 2) {(x - 1)}^{2} } dx$

с помощью неопределенных коэффициентов разделим на простейшие дроби:

$\frac{4 {x}^{2} - 14x + 15 }{(x - 2) {(x - 1)}^{2} } = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{ {(x - 1)}^{2} } + \frac{C}{x - 2} \\ 4 {x}^{2} - 14 + 15 = A(x - 1)(x - 2) + B(x - 2) + C {(x - 1)}^{2} \\ 4 {x}^{2} - 14x + 15 = A {x}^{2} - 3Ax + 2A + Bx - 2B + C {x}^{2} - 2Cx + C \\ \\ 4 = A + C \\ - 14 = - 3A + B - 2C \\ 15 = 2A - 2B + C \\ \\ A= 4 - C \\ - 12 + 3C + B - 2C = - 14 \\ 8 - 2C - 2B+ C = 15 \\ \\ A = 4 - C \\ B + C = - 2 \\ - C - 2B= 7 \\ \\ A = 4 - C \\ B= - 2 - C\\ - C + 4 + 2C = 7 \\ \\ C+ 4 = 7 \\ C = 3 \\ \\ A = 1 \\ B = - 5 \\ C = 3$

получаем:

$\int\limits \frac{dx}{x - 1} - \int\limits \frac{5dx}{ {(x - 1)}^{2} } + \int\limits \frac{3dx}{x - 2} = \\ = ln(x - 1) + 3 ln(x - 2) -5\int\limits {(x - 1)}^{ - 2} d(x - 1) = \\ = ln(x - 1) + 3 ln(x - 2) - 5 \times \frac{ {(x - 1)}^{ - 1} }{( - 1)} + C = \\ = ln(x - 1) + 3 ln(x - 2) + \frac{5}{x - 1} + C$

складываем ответы первого и второго интегралов получаем:

$x + ln(x - 1) + 3ln(x - 2) + \frac{5}{x - 1} + C$