Question

решите систему...

...........

Answer 1

y + z = 23 - x,

x·(y+z) + yz = 144,

yz = 252/x,

x·(23 - x) + (252/x) = 144,

x²·(23 - x) + 252 = 144x,

23x² - x³ + 252 = 144x,

x³ - 23x² + 144x - 252 = 0,

Если x<0, тогда вся левая часть последнего уравнения меньше нуля, очевидно также, что x≠0, тогда ищем решение x>0.

Будем искать целое решение этого уравнения, тогда x - целое и является делителем свободного члена (делителем числа 252). Т.к. x·(x² - 23x + 144) = 252.

Разложим 252 на простые множители:

252 = 4·63 = 2²·7·9 = 2²·3²·7.

Перебирая последовательно по возрастанию положительные делители числа 252, найдем, что

x = 3, является решением (при подстановке в уравнение получается верное равенство).

Тогда разделим многочлен (x³ - 23x² + 144x - 252), на многочлен (x-3), (столбиком), тогда получим

x³ - 23x² + 144x - 252 ≡ (x-3)·(x² - 20x + 84)

(проверьте последнее тождество раскрытием скобок справа).

Тогда имеем уравнение:

(x - 3)·(x² - 20x + 84) = 0,

x - 3 = 0 или x² - 20x + 84 = 0,

x₁ = 3,

или

x²- 20x + 84 = 0

(x² - 2·10·x + 10²) + 84 - 100 = 0,

(x - 10)² = 100 - 84 = 16,

x - 10 = -√16 = -4, или x-10 = √16 = 4,

x₂ = 10 - 4 = 6,

x₃ = 10 + 4 = 14.

Итак, рассматривая систему:

x+y+z = 23 и xy + xz + yz = 144 и xyz = 252,

видим, что x, y, z входят симметрично, ибо если поменять местами x и y

( или x и z, или y и z), то эта система уравнений не изменяется. А значит каждое из чисел (x, y, z) является решением уравнения x³ - 23x² + 144x - 252 = 0.

Тогда с учётом условия x < y < z получаем

x = 3, y = 6, z = 14.