Question

Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд.

Answer 1

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^3 + 1}$

Рассмотрим абсолютную сходимость данного ряда.

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^n}{n^3 + 1} \right| =$

$= \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3 + 1}$

$n^3 < n^3 + 1$

$\frac{1}{n^3 + 1} < \frac{1}{n^3}$

Поэтому последний ряд мажорируется рядом

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}$, который сходится (смотри обобщённый гармонический ряд). Тогда по признаку сравнения ряд

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3 + 1}$ сходится, а ряд

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^3 + 1}$ сходится абсолютно.

Ответ. Сходится абсолютно.