31. Вершины треугольника находятся в точках
О(0, 0), А(0, 6), B(8, 0), и при параллельном
переносе точка А(0, 6) перейдет в точку
пересечения биссектрис прямоугольного
треугольника АОВ. В какую точку переходит
центр окружности, описанной около этого
треугольника, при этом параллельном переносе?
Ответы
Вершины треугольника находятся в точках О(0, 0), А(0, 6), B(8, 0).
Отсюда следует, что заданный треугольник - прямоугольный, а его катеты лежат на осях , гипотенуза АВ = √(6² + 8²) = 10.
Находим точку пересечения биссектрис прямоугольного
треугольника АОВ.
Уравнение биссектрисы прямого угла: у = х.
Точка пересечения биссектрисы угла А с ОВ делится пропорционально 6 и 10. То есть: (8/16)*6 = 3, 8/16)*10 = 5.
Получаем уравнение биссектрисы угла А: у = (-6/3)х + 6 = -2х + 6.
Решаем систему двух уравнений.
{y = x,
{y = -2x + 6.
Вычтем из первого второе: х - (-2х) - 6 = 0, 3х = 6, х = 6/3 = 2.
у = х = 2. Найдена точка пересечения биссектрис: К(2; 2).
Находим разность координат при параллельном переносе А в К:
Δх = 2 - 0 = 2, Δу = 2 - 6 = -4.
Переходим к центру описанной окружности.
В прямоугольном треугольнике он находится в середине гипотенузы.
Координаты этой точки равны половинам координат точек А и В.
Точка С(8/2=4; 6/2=3) = (4; 3).
При параллельном переносе разность координат сохраняется.
Точка С1(4+2=6; 3+(-4)=-1) = (6; -1).
Ответ: С1(6; -1).