Question

Найти градиент функции и производную по направлению

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$grad(z) = z'_xi+z'_yj$

$z'_x= -8xy+y^4$

$z'_y=-4x^2+4xy^3$

$grad(z) =(-8xy+y^4)i+(-4x^2+4xy^3)j$

$grad(z)_A=(-8*1*3+3^4)+(-4*1^2+4*1*3^3)j=57i+104j$

направление вектора-градиента задаётся его направляющими косинусами:

$cos\alpha =\frac{z'_x}{Irad(z)_AI} ;$     $cos\beta =\frac{z'_y}{Irad(z)_AI} ;$

$Igrad(z)I=\sqrt{(z'_x)^2+(z'_y)^2}$

$Igrad(z)_AI =\sqrt{57^2+104^2} =\sqrt{14065}$

$cos\alpha = \frac{57}{\sqrt{14065} } ;$    $cos\beta =\frac{104}{\sqrt{14065} }$

с градиентом покончили, теперь производная в точке А по направлению вектора b(1;-2).

направление вектора

$cos\alpha =\frac{1}{IbI} ;$     $cos\beta =\frac{-2}{IbI}$

$IbI = \sqrt{x^2+y^2} =\sqrt{1^2+(-2)^2} =\sqrt{5}$

$cos\alpha =\frac{1}{\sqrt{5} } ;$    $cos \beta = \frac{-2}{\sqrt{5} }$

$z'_b=57\frac{1}{\sqrt{5} } +104\frac{-2}{\sqrt{5} } = -151\frac{\sqrt{5} }{5}$

поскольку $z'_b < 0$ , то заданная функция в направлении вектора b убывает.