Question

Построить график и определить асимптоты гиперболы x^2-4y^2=16

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

x²-4y²=16   ⇒  $y_1 = 0.5\sqrt{x^2-16} ;$    $y_2 = -0.5\sqrt{x^2-16} ;$

т.е. наша функция  иммет такой вид

$y=\left \{ {{ 0.5\sqrt{x^2-16} ; x\geq0 } \\\atop {-0.5\sqrt{x^2-16} ; x\leq 0}} \right.$

1) $y_1 = 0.5\sqrt{x^2-16} ;$

уравнение ищем в виде  y = kx + b

из определения асимптоты найдем k и b

определениe $\lim_{x \to \infty} (kx+b-f(x))$, откуда

$k= \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{0.5\sqrt{x^2-16} }{x} =0.5$

$b= \lim_{x \to \infty}(f(x)-kx) = \lim_{x \to \infty}(0.5\sqrt{x^2-16} -0.5x) = 0$

итак, мы получили уравнение наклонной асимптоты

y = 0.5x

2) $y_2 = -0.5\sqrt{x^2-16} ;$

совершенно аналогично мы получим

$k= \lim_{x \to \infty} -\frac{0.5\sqrt{x^2-16} }{x} =-0.5$

$b= \lim_{x \to \infty}(-0.5\sqrt{x^2-16} -(-0.5x) ) = 0$

и получим другое уравнение асимптоты

y = -0.5x