Question

Дан треугольник ABC. Если AB – BC = 2 см, ∠A = 45° и ∠C = 60°, то найди длины сторон AB и BC.

Answer 1

Ответ:

АВ = (2√6+6) см

ВС = (2√6+4) см

Объяснение:

Пусть ВС = х см, тогда АВ=ВС+2 = (х+2) см

Теорема синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

По теореме синусов:

$\dfrac{AB}{sin C} =\dfrac{BC}{sinA} \\\\AB*sinA=BC*sinC\\\\AB*sin45^{\circ} =BC*sin60^{\circ}$

$(x+2)\dfrac{\sqrt{2} }{2} = x*\dfrac{\sqrt{3} }{2} \\\\(x+2)*\sqrt{2} =\sqrt{3} *x\\\\\sqrt{2} x+2\sqrt{2} =\sqrt{3} x\\\\x(\sqrt{3}-\sqrt{2} ) =2\sqrt{2} \\\\x=\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе. Для этого числитель и знаменатель умножим на одно и тоже число: (√3+√2):

$x=\dfrac{2\sqrt{2}*(\sqrt{3}+\sqrt{2}) }{(\sqrt{3}-\sqrt{2})*(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\\\\\\=\dfrac{2\sqrt{6}+4 }{3-2} = 2\sqrt{6}+4$

Сторона ВС = (2√6+4) см

АВ = 2√6+4 + 2 = (2√6+6) см