Question

Найдите отношения сторон AC : BC и AB : BC в треугольнике ABC, в котором: а) угол А= 45°, угол В= 30°; б) угол A= 120°, угол B= 30°​

Answer 1

Стороны треугольника (любого) пропорциональны синусам противолежащих углов (Теорема Синусов), поэтому

а)

∠C = 180° - 45° - 30° = 105°

AC ÷ BC = sin B ÷ sin A = sin 30° ÷ sin 45° = 0,5 ÷ (0,5 · √2) = 1 ÷ √2;

AB ÷ BC = sin C ÷ sin A = sin 105° ÷ sin 45° = sin (90° + 15°) ÷ sin 45° = cos 15° ÷ sin 45°;

Примечание:

Учитывая, что cos 15° = 0,5·(√6 + √2), получаем, что AB ÷ BC = (√6 + √2) ÷ √2

б)

∠C = 180° - 120° - 30° = 30° ⇒ ∠B = ∠C ⇒ ΔABC - равнобедренный (по признак) ⇒ AB = AC

AC ÷ BC = AB ÷ BC = sin B ÷ sin A = sin C ÷ sin A = sin 30° ÷ sin 120° = 0,5 ÷ (0,5 · √3) = 1 ÷ √3;

Замечание: sin 120° = sin (180° - 60°) = sin 60° = 0,5√3