Question

2. Найти интегралы. Замена переменной

Answer 1

Ответ:

4.

$\cos(x) = t \\ - \sin(x) dx = dt \\ \sin(x) dx = - dt$

распишем числитель:

$\int\limits \frac{ { \sin }^{3}x dx}{ \sqrt{ \cos(x) } } = \int\limits \frac{ { \sin }^{2}x \times \sin(x) }{ \sqrt{ \cos(x) } } dx = \\ = \int\limits \frac{(1 - { \cos }^{2} x) \times \sin(x) }{ \sqrt{ \cos(x) } } dx$

замена:

$\int\limits \frac{(1 - {t}^{2}) \times ( - dt) }{ \sqrt{t} } = \int\limits \frac{( {t}^{2} - 1)}{ \sqrt{t} } dt = \\ = \int\limits( {t}^{ \frac{3}{2} } - {t}^{ - \frac{1}{2} }) dt = \frac{ {t}^{ \frac{5}{2} } }{ \frac{5}{2} } - \frac{ {t}^{ \frac{1}{2} } }{ \frac{1}{2} } + c = \\ = \frac{2}{5} \sqrt{ {t}^{5} } - 2 \sqrt{t} + c = \\ = \frac{2}{5} \sqrt{ { \cos }^{5} x} - 2 \sqrt{ \cos(x) } + c$

5.

$\int\limits \frac{dx}{x \sqrt{4 - {x}^{2} } }$

$\frac{2}{x} = t \\ x = \frac{2}{t} \\ \frac{1}{x} = \frac{t}{2} \\ (2 {x}^{ - 1} )'dx = dt \\ - \frac{2}{ {x}^{2} } dx = dt \\ dx = - \frac{ {x}^{2} }{2} dt \\ dx = - \frac{4}{ 2{t}^{2} } dt = - \frac{2}{ {t}^{2} } dt$

$\int\limits \frac{t}{2 \sqrt{4 - \frac{4}{ {t}^{2} } } } \times ( - \frac{2}{ {t}^{2} } dt) = \\ = - \int\limits \frac{tdt}{ {t}^{2} } \times \sqrt{ \frac{ {t}^{2} }{4 {t}^{2} - 4 } } = - \int\limits \frac{dt}{t} \times \frac{t}{2 \sqrt{ {t}^{2} - 1 } } = \\ = - \frac{1}{2} \int\limits \frac{dt}{ \sqrt{ {t}^{2} - 1 } } = - \frac{1}{2} ln(t + \sqrt{ {t}^{2} - 1 } ) + c = \\ = - \frac{1}{2} ln( \frac{2}{x} + \sqrt{ \frac{4}{ {x}^{2} } - 1} ) + c$