Question

Найти решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
y"-y'+2y=4e^(2x)

Answer 1

Ответ:

1.

$y'' - y' + 2y = 0 \\ y = {e}^{kx} \\ {e}^{kx} ( {k}^{2} - k + 2) = 0 \\ d = 1 - 8 = - 7 \\ k1 = \frac{1 + \sqrt{ - 7} }{2} = \frac{1 + \sqrt{7}i }{2} = \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{7} }{2} i \\ k = \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{7} }{2} i \\ \\ y = {e}^{ \frac{1}{2}x }( C1 \sin( \frac{ \sqrt{7} }{2} x) + C 2\cos( \frac{ \sqrt{7} }{2} x) )$

2.

Подбираем у с неопределенными коэффициентми:

$y = A {e}^{2x} \\ y = 2A{e}^{2x} \\ y = 4A {e}^{2x}$

подставляем а НЛДУ:

$4A{e}^{2x} - 2A {e}^{2x} + 2A{e}^{2x} = 4 {e}^{2x } \\ 4A {e}^{2x} = 4 {e}^{2x} \\ A = 1 \\ y = {e}^{2x}$

общее решение:

$y = {e}^{ \frac{1}{2}x }( C1 \sin( \frac{ \sqrt{7} }{2} x) + C 2\cos( \frac{ \sqrt{7} }{2} x) ) + {e}^{2x}$