Question

В правильной треугольной пирамиде SABC (с вершиной S) сторона основания равна √

10, а боковое ребро равно 5. Найдите расстояние между прямыми AS и BC.

Пожалуйста, подробное решение)Заранее спасибо.

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{\sqrt{26}}{2}$

Объяснение:

Пирамида правильная, значит в основании правильный треугольник, боковые грани равные равносторонние треугольники.

Прямые AS и ВС - скрещивающиеся. Расстоянием между ними будет длина общего перпендикуляра.

Пусть Н - середина ВС, тогда АН - медиана и высота правильного треугольника АВС, АН⊥ВС.

SH - медиана и высота равнобедренного треугольника SBC, SH⊥ВС.

Так как ребро ВС перпендикулярно двум пересекающимся прямым плоскости ASH, то оно перпендикулярно всей плоскости:

BC⊥(ASH)

Проведем в треугольнике ASH высоту НК.

ВС⊥(ASH), HK⊂(ASH), ⇒ BC⊥HK,

AS⊥HK по построению, значит НК - искомое расстояние между скрещивающимися прямыми AS и ВС.

Из правильного ΔАВС:

$AH=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{10}\cdot \sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{30}}{2}$  

$BH=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}$  

ΔSHB:  ∠SHB = 90°, по теореме Пифагора

 $SH=\sqrt{SB^2-BH^2}=\sqrt{5^2-\left(\dfrac{\sqrt{10}}{2}\right)^2}=\sqrt{25-\dfrac{10}{4}}=$

$=\sqrt{\dfrac{90}{4}}=\dfrac{3\sqrt{10}}{2}$  

ΔASH: по теореме косинусов:

$SH^2=SA^2+AH^2-2\cdot SA\cdot AH\cdot \cos\angle A$

$\dfrac{90}{4}=25+\dfrac{30}{4}-2\cdot 5\cdot \dfrac{\sqrt{30}}{2}\cdot \cos\angle A$

$5\sqrt{30}\cos\angle A=25-\dfrac{60}{4}=25-15=10$

$\cos\angle A=\dfrac{10}{5\sqrt{30}}=\dfrac{2}{\sqrt{30}}$

$\sin\angle A=\sqrt{1-\cos^2\angle A}=\sqrt{1-\dfrac{4}{30}}=\sqrt{\dfrac{26}{30}}=\sqrt{\dfrac{13}{15}}$

ΔAKH:  ∠AKH = 90°

$\sin\angle A=\dfrac{HK}{AH}$

$HK=AH\cdot \sin\angle A$

$\boldsymbol{HK}=\dfrac{\sqrt{30}}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{13}}{\sqrt{15}}=\dfrac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{13}}{2}\boldsymbol{=\dfrac{\sqrt{26}}{2}}$