Question

35 баллов., решить логарифмические уравнения используя свойства логарифма.
ПОШАГОВО, С ФОТО.

Answer 1

1)

$\lg\left(6x^2+x\right) = \lg12 - \lg6$

При решении логарифмических уравнений всегда сначала нужно находить область определения. Аргумент логарифма всегда должен быть положительным, а основание - не только положительным, но и неравным единице. С основаниями всё в порядке, поскольку $\lg$ - это логарифм с основанием 10. Теперь с аргументами. 12 и 6 положительны, а вот у логарифма в левой части уравнения в аргументе находится переменная, а потому область определения является решением неравенства:

$6x^2 + x > 0\\\\x(6x + 1) > 0$

Нули:  $0; -\dfrac{1}{6}$ .

          +                          -                               +

--------------------о---------------------------о-----------------------> x

                    $-\dfrac{1}{6}$                               $0$

Таким образом, запишем область определения функции:

$\lg\left(6x^2+x\right) = \lg12-\lg6\ \ \ \ \ \Big|\ x\in\left(-\infty; -\dfrac{1}{6}\right)\cup\left(0; +\infty)$

По свойству логарифма:  $\log_ab - \log_ac = \log_a\dfrac{b}{c}$ , тогда для нашего случая:

$\lg\left(6x^2+x\right) = \lg\dfrac{12}{6}\\\\\lg\left(6x^2+x\right) = \lg2$

Так как основания логарифмов одинаковые, мы можем приравнять аргументы.

$6x^2 + x = 2\\\\6x^2 + x - 2 = 0\\\\D = b^2 - 4ac = 1 + 48 = 49\\\\x_1 = \dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-1+7}{12} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}\\\\\\x_2 = \dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-1-7}{12} = \dfrac{-8}{12} = -\dfrac{2}{3}$

Оба корня входят в выведенную нами область определения, а потому они оба являются решениями уравнения.

Ответ: $-\dfrac{2}{3};\ \dfrac{1}{2}$ .

2)

$\log_5(3-x) - \log_5(x+2) = 2\log_52$

Для нахождения области определения проверяем каждое расписанное мной сверху свойство для каждого логарифма. В итоге должно получиться:

$\begin{equation*}\begin{cases}3-x > 0\\x + 2 > 0\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \Leftrightarrow\ \begin{equation*}\begin{cases}x < 3\\x > -2\end{cases}\end{equation*}$

$\log_5(3-x) - \log_5(x+2) = 2\log_52\ \ \ \ \ \Big|\ x\in(-2;\ 3)$

Теперь воспользуемся двумя свойствами логарифмов. Первое мы применяли в прошлом уравнении, а второе:  $k\cdot\log_ab = \log_ab^k$ .

$\log_5\left(\dfrac{3-x}{x+2}\right) = \log_52^2\\\\\\\log_5\left(\dfrac{3-x}{x+2}\right) = \log_54\\\\\\\dfrac{3-x}{x+2} = 4$

По основному свойству пропорции:

$3-x = 4(x+2)\\\\3 - x = 4x + 8\\\\-5x = 5\ \ \ \ \ \Big| :(-5)\\\\x = -1$

Корень входит в область определения, а значит, является решением уравнения.

Ответ: -1.

3)

$\log_3(x-2) + \log_3(x+6) = 2$

Уже по стандарту находим область определения.

$\begin{equation*}\begin{cases}x - 2 > 0\\x + 6 > 0\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \Leftrightarrow\ \begin{equation*}\begin{cases}x > 2\\x > -6\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \Rightarrow\ \boxed{\bf{x>2}}$

$\log_3(x-2) + \log_3(x+6) = 2\ \ \ \ \ \Big|\ x\in(2; +\infty)$

Воспользуемся свойством логарифма: $\log_ab + \log_ac = \log_abc$ . Двойку в правой части нам нужно заменить на тождественный ей логарифм по основанию 3, таким будет  $\log_39$.

$\log_3\left((x-2)(x+6)\right) = \log_39\\\\(x-2)(x+6) = 9\\\\x^2 + 6x - 2x - 12 - 9 = 0\\\\x^2 + 4x - 21 = 0$

По теореме Виета:

$\begin{equation*}\begin{cases}x_1x_2 = -21\\x_1+x_2 = -4\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \ \ \Big| x = -7; x = 3$

А теперь внимание, то, зачем мы искали область определения. Напомню, она у нас была $x>2$. Найденный нами корень -7 в этот промежуток не входит, а потому решением уравнения НЕ ЯВЛЯЕТСЯ. С корнем 3 же всё нормально, а значит, уравнение имеет одно решение.

Ответ: 3.

4)

$\log_2\left(2-x^2\right) - \log_2(-x) = 0$

Область определения:

$\begin{equation*}\begin{cases}2-x^2 > 0\\-x > 0\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \Leftrightarrow\ \begin{equation*}\begin{cases}\left(\sqrt{2}-x\right)\left(\sqrt{2}+x\right) > 0\\x < 0\end{cases}\end{equation*}$

Верхнее неравенство решим отдельно.

Нули: $\sqrt{2}\ ;-\sqrt{2}$ .

            -                             +                              -

-----------------------о---------------------------о-----------------------> x

                       $-\sqrt{2}$                            $\sqrt{2}$

$\begin{equation*}\begin{cases}x \in \left(-\sqrt{2}\ ;\sqrt{2}\right)\\x<0\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \Rightarrow\ \boxed{\bf{x\in\left(-\sqrt{2}\ ;0\right)}}$

0 - это логарифм с аргументом 1, при этом основание может быть любым допустимым. Например, 2, как в нашем случае:  $0 = \log_21$. Пользуемся тем же свойством.

$\log_2\left(\dfrac{2-x^2}{-x}\right) = \log_21\\\\\\\dfrac{2-x^2}{-x} = 1$

Откуда получаем, что:

$2 - x^2 = -x\\\\-x^2 + x + 2 = 0\ \ \ \ \ \Big| \cdot(-1)\\\\x^2 - x - 2 = 0$

По теореме Виета:

$\begin{equation*}\begin{cases}x_1x_2 = -2\\x_1+x_2 = 1\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \ \ \Big| x = 2; x = -1$

Опять сравниваем с областью определения. Легко заметить, что 2 в неё не входит, а значит, НЕ ЯВЛЯЕТСЯ РЕШЕНИЕМ. А -1 входит туда, поэтому уравнение имеет одно решение.

Ответ: -1.