Question

Вычислить площадь параллелограмма построенного на векторах a-3b и a-4b если IaI=3; IbI=2 угол (a^b)=90

Answer 1

Площадь параллелограмма равна произведению длин смежных его сторон на синус угла между ними.

Так как угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, то их скалярное произведение равно 0:

$\left(\vec{a}\cdot\vec{b}\right)=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot\cos 90^\circ=3\cdot2\cdot0=0$

Найдем длины сторон параллелограмма:

$\left|\vec{a}-3\vec{b}\right|^2=|\vec{a}|^2+9|\vec{b}|^2-6\left(\vec{a}\cdot\vec{b}\right)=3^2+9\cdot2^2-6\cdot0=9+36=45$

$\Rightarrow\left|\vec{a}-3\vec{b}\right|=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$

$\left|\vec{a}-4\vec{b}\right|^2=|\vec{a}|^2+16|\vec{b}|^2-8\left(\vec{a}\cdot\vec{b}\right)=3^2+16\cdot2^2-8\cdot0=9+64=73$

$\Rightarrow\left|\vec{a}-4\vec{b}\right|=\sqrt{73}$

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}-3\vec{b}$ и $\vec{a}-4\vec{b}$:

$(\vec{a}-3\vec{b})(\vec{a}-4\vec{b})=|\vec{a}|^2-3\left(\vec{a}\cdot\vec{b}\right)-4\left(\vec{a}\cdot\vec{b}\right)+12|\vec{b}|^2=3^2+12\cdot2^2=57$

Запишем скалярное произведение через произведение длин векторов и косинуса угла между ними $\gamma$:

$(\vec{a}-3\vec{b})(\vec{a}-4\vec{b})=|\vec{a}-3\vec{b}|\cdot|\vec{a}-4\vec{b}|\cdot\cos\gamma$

Подставим известные величины:

$3\sqrt{5} \cdot\sqrt{73} \cdot\cos\gamma=57$

Выразим косинус:

$\cos\gamma=\dfrac{57}{3\sqrt{5} \cdot\sqrt{73}} =\dfrac{57}{3\sqrt{365}}$

С помощью основного тригонометрического тождества найдем синус:

$\sin\gamma=\sqrt{1-\cos^2\gamma}$

$\sin\gamma=\sqrt{1-\left(\dfrac{57}{3\sqrt{365}}\right)}= \sqrt{1-\dfrac{3249}{3285}} = \sqrt{\dfrac{36}{3285}} =\dfrac{6}{3\sqrt{365} } =\dfrac{2}{\sqrt{365} }$

Определим искомую площадь параллелограмма:

$S=\left|\vec{a}-3\vec{b}\right|\cdot\left|\vec{a}-4\vec{b}\right|\cdot\sin\gamma$

$S=3\sqrt{5} \cdot\sqrt{73} \cdot\dfrac{2}{\sqrt{365} } =6$

Ответ: 6