У правільній шестікутній прізмі площа найбільшого діагонального перерізу 4 м, а відстань между двома протилежних бічнімі гранями 2 м. Знайте об'єм призми.

Ответы

Ответ дал: DK954

Дано:

ABCDLMA₁B₁C₁D₁FK - правильная шестиугольная призма

AA₁D₁D - прямоугольник

S(AA₁D₁D) = 4 м²

MB = 2 м

-----------------------------------------------------------------------------------------

Найти:

V - ?

Решение:

Наибольшее диагональное сечение — это AA₁D₁D. Тогда AD — диаметр окружности, описанной около правильного шестиугольника. Так что AD=2R и АВ=АМ=R. ∠MAB найдем по формуле:

∠MAB = 180°×(n-2)/n = 180°×(6-2)/6 = 180°×4/6 = 30°×4 = 120°

Тогда: ∠MAX = 1/2 × ∠MAB = 1/2 × 120° = 60° ⇒ MX = 1/2 × MB = 1/2 × 2 м = 1 м

Далее, мы находим сторону AX из прямоугольного ΔАМХ:

AM = MX/sin∠MAX = 1 м/sin 60° = 1 м/√3/2 = 1 м × 2/√3 = 2/√3 м × √3/√3 = 2√3/3 м ⇒ R = AM = 2√3/3 м

Значит что сторона AD будет равен:

AD = 2R = 2 × 2√3/3 м = 4√3/3 м

Теперь находим высоту AA₁ с помощью формулы прямоугольника AA₁D₁D:

S(AA₁D₁D) = AA₁ × AD - площадь прямоугольника

4м² = AA₁ × 4√3/3 м ⇒ AA₁ = 4м²/4√3/3 м = 4×3/4√3 м = 12/4√3 м × √3/√3 = 12√3/4×(√3)² м = 12√3/4×3 м = 12√3/12 м = √3 м

Далее, мы находим площадь основания правильной шестиугольной призмы, мы знаем площадь основания равна площади шести равносторонних, то есть:

Sосн = 6S(ΔAMO) = 6×1/2×MO×AO×sin 60° = 6×1/2×(2√3/3 м)² × √3/2 = 3 × 12/9 м² × √3/2 = 3 × 4/3 м² × √3/2 = 4 м² × √3/2 = 2√3 м²

И теперь находим объем правильной шестиугольной призмы: