Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями под цифрой 6

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$y=\sqrt{e^x-1}; y=0; x=ln2$

$S=\int\limits^{x_2}_{x_1} {(y_1(x) - y_2(x))} \, dx$

рисуем графики всех функций  и  определяем кто у нас будет у₁

а им будет та функция, график которой располагается "выше". у нас это $y_1=\sqrt{e^x-1};$  тогда у₂=0;

ну и пределы интегрирования - х изменяется от x₁=0 до x₂=ln2

теперь всё готово и можно считать интеграл

поехали....

надо заметить, что при замене переменных у  нас будут меняться и пределы интегрирования..

$S=\int\limits^{ln2}_b {\sqrt{e^x-1} } \, dx = \left[\begin{array}{ccc}u=e^x;du=e^xdx \\u_{upp}=e^{ln2}=2\\u_{low}=e^0=1\end{array}\right] =\int\limits^2_1 {\frac{\sqrt{u-1} }{u} } \, du =$

$=\left[\begin{array}{ccc}s=\sqrt{u-1} ;ds=\frac{2}{2\sqrt{u-1} du} \\s_{upp}=1; s_{low}=0\\\end{array}\right] =\int\limits^1_0 {2\frac{s^2}{s^2+1} } \, ds =2\int\limits^1_0 {(1-\frac{1}{s^2+1} )} \, ds =$

$=2sI_0^1-2tgsI_0^1=2-\frac{\pi }{2}$

вот и всё...