Question

Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

Answer 1

Ответ:

$x'= 2x - y \\ y'= x + 2 {e}^{t}$

$y = 2x - x' \\ y'= x + 2 {e}^{t}(3) \\ \\ y = 2x'- x''(2)$

подставляем (2) в (3)

$2x' - x'' = x + 2 {e}^{t} \\ - x'' + 2x'- x = 2 {e}^{t} \\ x'' - 2x' + x = - 2 {e}^{t}$

это НЛДУ.

1)

$x''- 2x'+ x = 0 \\ x = {e}^{kt} \\ {k}^{2} - 2k + 1 = 0 \\ {(k - 1)}^{2} = 0 \\ k1 = k2 = 1 \\ x = c1 {e}^{t} + c2 {e}^{t} t$

2)

х с неопределенными коэффициентми:

$х= a {t}^{2} {e}^{t}$

$х' = 2at {e}^{t} + {e}^{t} a{t}^{2} = \\ = {e}^{t} (2at + a {t}^{2} )$

$х''= {e}^{t} (2at + a {t}^{2} ) + {e}^{t} (2a + 2at) = \\ = {e}^{t} (a {t}^{2} + 4at + 2a)$

подставляем в НЛДУ:

${e}^{t} (a {t}^{2} + 4 at + 2a - 4at - 2 a{t}^{2} + a{t}^{2} ) = - 2 {e}^{t} \\ {e}^{t} \times 2a = - 2 {e}^{t} \\2 a = - 2 \\ a = - 1$

$х = - {t}^{2} {e}^{t}$

получаем общее решение х:

$x = c1 {e}^{t} + c 2{e}^{t} t - {e}^{t} t ^{2}$

в итоге:

$x = c1 {e}^{t} + c 2{e}^{t} t - {e}^{t} t ^{2}(1) \\ y = 2x - x'(2)$

найдем у(t). Для этого найдем производную x(t)

$x' = c1 {e}^{t} + c2 {e}^{t} t + c2 {e}^{t} - {e}^{t} {t}^{2} - 2t {e}^{t} (3)$

подставляем (1) и (3) в (2):

$y = 2(c1 {e}^{t} + c 2{e}^{t} t - {e}^{t} t ^{2} ) - \\ - ( c1 {e}^{t} + c2 {e}^{t} t + c2 {e}^{t} - {e}^{t} {t}^{2} - 2t {e}^{t} ) = \\ = 2c1 {e}^{t} +2 c 2{e}^{t} t - 2 {e}^{t} t ^{2} - \\ - c1 {e}^{t} - c2 {e}^{t} t - c2 {e}^{t} + {e}^{t} {t}^{2} + 2t {e}^{t} = \\ = c1 {e}^{t} + c2 {e}^{t} t - c2 {e}^{t} - {e}^{t} {t}^{2} + 2t {e}^{t}$

Ответ:

$y = c1 {e}^{t} + c2 {e}^{t} t - c2 {e}^{t} - {e}^{t} {t}^{2} + 2t {e}^{t} \\ x = c1 {e}^{t} + c 2{e}^{t} t - {e}^{t} t ^{2}$