Question

Help me think about this.

Answer 1

$\iint\limits_D {ye^{\frac{xy}{2} }} dxdy,\ D:\ y=\ln2;\ y=\ln3;\ x=2;\ x=4$

Так как область интегрирования - прямоугольник, то двойной интеграл можно сразу представлять в виде повторного, причем внутренний интеграл удобнее брать по dx:

$\iint\limits_D ye^{\frac{xy}{2}} dxdy=\int\limits_{\ln2}^{\ln3} {\left(\int\limits_2^4 ye^{\frac{xy}{2}}dx\right)dy\ \boxed{=}$

Выполним подведение под знак дифференциала:

$\boxed{=}\ \int\limits_{\ln2}^{\ln3} {\left(y\cdot\dfrac{2}{y} \cdot\int\limits_2^4 e^{\frac{xy}{2}}d\left(x\cdot\dfrac{y}{2}\right) \right)dy=2\cdot\int\limits_{\ln2}^{\ln3} {\left(\int\limits_2^4 e^{\frac{xy}{2}}d\dfrac{xy}{2} \right)dy\ \boxed{=}$

Вычисляем табличный интеграл от экспоненты:

$\boxed{=}\ 2\cdot\int\limits_{\ln2}^{\ln3} {\left(\left e^{\frac{xy}{2}}\right|_2^4\right)dy\ \boxed{=}$

Выполняем двойную подстановку:

$\boxed{=}\ 2\cdot\int\limits_{\ln2}^{\ln3} {\left(e^{\frac{4y}{2}}-e^{\frac{2y}{2}}\right)dy=2\cdot\int\limits_{\ln2}^{\ln3} {\left(e^{2y}-e^{y}\right)dy\ \boxed{=}$

Разобьем интеграл на сумму двух интегралов:

$\boxed{=}\ 2\cdot\int\limits_{\ln2}^{\ln3} {e^{2y}dy-2\cdot\int\limits_{\ln2}^{\ln3} e^{y}\right)dy\ \boxed{=}$

Для первого интеграла выполним подведение под знак дифференциала:

$\boxed{=}\ 2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot \int\limits_{\ln2}^{\ln3} {e^{2y}d(2y)-2\cdot\int\limits_{\ln2}^{\ln3} e^{y}\right)dy\ \boxed{=}$

Вычисляем два табличных интеграла:

$\boxed{=}\ e^{2y}|_{\ln2}^{\ln3}-2e^y|_{\ln2}^{\ln3}\ \boxed{=}$

Выполняем двойные подстановки:

$\boxed{=}\ e^{2\ln3}-e^{2\ln2}-2(e^{\ln3}-e^{\ln2})=3^2-2^2-2\cdot(3-2)=9-4-2=3$

Ответ: 3