Question

100 БАЛЛОВ ЗА ПРИМЕР

Answer 1

Ответ:

a)

$\sin(2x - \frac{\pi}{6} ) + \cos( \frac{13\pi}{6} - 2x) = 0$

воспользуемся формулой приведения:

$\cos(x) = \sin( \frac{\pi}{2} - x)$

$\sin(2x - \frac{\pi}{6} ) + \sin( \frac{\pi}{2} - ( \frac{13\pi}{6} - 2x)) = 0 \\ \sin(2x - \frac{\pi}{6} ) + \sin( \frac{\pi}{2} - \frac{13\pi}{6} + 2x ) = 0 \\ \sin(2x - \frac{\pi}{6} ) + \sin( - \frac{5\pi}{3} + 2x ) = 0$

сложим синусы по формуле:

$\sin( \alpha ) + \sin( \beta ) = 2 \sin( \frac{ \alpha + \beta }{2} ) \cos( \frac{ \alpha - \beta }{2} ) = 0$

$\sin( \frac{2x - \frac{\pi}{6} - \frac{5\pi}{3} + 2x}{2} ) \cos( \frac{2x - \frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{3} - 2x}{2} ) = 0 \\ \sin( \frac{4x - \frac{11\pi}{6} }{2} ) \cos( \frac{3\pi}{4} ) = 0 \\ \sin(2x - \frac{11\pi}{12} ) = 0 \\ 2x - \frac{11\pi}{12} = 2\pi \: n \\ 2x = \frac{11\pi}{12} + \pi \: n \\ x = \frac{11\pi}{24} + \frac{\pi \: n}{2}$

n принадлежит Z.

б)

$\sin( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} ) = \sqrt{3} \cos( \frac{47\pi}{3} - \frac{x}{2} )$

$\sin(x) = \cos( \frac{\pi}{2} - x)$

$\cos( \frac{\pi}{2} - \frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} ) = \sqrt{3} \cos(15\pi + \frac{2\pi}{3} - \frac{x}{2} ) \\ \cos( \frac{\pi}{6} - \frac{x}{2} ) = - \sqrt{3} \cos( \frac{2\pi}{3} - \frac{x}{2} ) \\ \cos( \frac{\pi}{6} ) \cos( \frac{x}{2} ) + \sin( \frac{\pi}{6} ) \sin( \frac{x}{2} ) = - \sqrt{3} ( \cos( \frac{2\pi}{3} ) \cos( \frac{x}{2} ) + \sin( \frac{2\pi}{3} ) \sin( \frac{x}{2} ) ) \\ \frac{ \sqrt{3} }{2} \cos( \frac{x}{2} ) + \frac{1}{2} \sin( \frac{x}{2} ) = - \sqrt{3} ( - \frac{1}{2} \cos( \frac{x}{2} ) + \frac{ \sqrt{3} }{2} \sin( \frac{x}{2} ) ) \\ \frac{ \sqrt{3} }{2} \cos( \frac{x}{2} ) + \frac{1}{2} \sin( \frac{x}{2} ) = \frac{ \sqrt{3} }{2} \cos( \frac{x}{2} ) - \frac{3}{2} \sin( \frac{x}{2} )$

косинусы сокращаются

$\frac{1}{2} \sin( \frac{x}{2} ) + \frac{3}{2} \sin( \frac{x}{2} ) = 0 \\ 2 \sin( \frac{x}{2} ) = 0 \\ \frac{x}{2} = \pi \: n \\ x = 2\pi \: n$

n принадлежит Z