Question

100 баллов,найти интеграл

Answer 1

1.

$y '= \frac{1}{1 + \frac{ {x}^{2} }{ {(1 - {x}^{2}) }^{2} } } \times ( \frac{x}{1 - {x}^{2} } )' = \\ = \frac{ {(1 - {x}^{2}) }^{2} }{ {(1 - {x}^{2} ) }^{2} + {x}^{2} } \times \frac{1 - {x}^{2} - ( - 2x) \times x}{ {(1 - {x}^{2}) }^{2} } = \\ = \frac{1 - {x}^{2} + 2 {x}^{2} }{1 - 2 {x}^{2} + {x}^{4} + {x}^{2} } = \frac{ {x}^{2} + 1}{ {x}^{4} - {x}^{2} + 1 }$

2.

$\int\limits \frac{5x - 2}{ \sqrt{9 + 4x - {x}^{2} } } dx$

в числителе делаем производную знаменателя:

$( - {x}^{2} + 4x + 9)' = - 2x + 4$

$- \int\limits \frac{2 - 5x}{ \sqrt{9 + 4x - {x}^{2} } } dx = - \frac{5}{2} \int\limits \frac{ \frac{2}{5}(2 - 5x) }{ \sqrt{9 + 4x - {x}^{2} } }dx = \\ = - \frac{5}{2} \int\limits \frac{ \frac{4}{5} - 2x}{ \sqrt{9 + 4x - {x}^{2} } } = - \frac{5}{2} \int\limits \frac{ - 2x + 4 - \frac{16}{5} }{ \sqrt{9 + 4x - {x}^{2} } } = \\ = - \frac{5}{2} \int\limits \frac{ - 2x + 4}{ \sqrt{9 + 4x - {x}^{2} } } dx - \frac{5}{2} \times ( - \frac{16}{5} )\int\limits \frac{dx}{ \sqrt{9 + 4x - {x}^{2} } }$

первый интеграл:

$- \frac{5}{2} \int\limits \frac{ - 2 x + 4}{ \sqrt{9 + 4x - {x}^{2} } } dx = - \frac{5}{2} \int\limits \frac{d(9 + 4x - {x}^{2}) }{ {(9 + 4x - {x}^{2}) }^{ \frac{1}{2} } } = \\ = - \frac{5}{2} \times \frac{ {(9 + 4x - {x}^{2} )}^{ \frac{1}{2} } }{ \frac{1}{2} } + C = - 5 \sqrt{9 + 4x - {x}^{2} } + C$

второй интеграл:

$8\int\limits \frac{dx}{ \sqrt{9 + 4x - {x}^{2} } }$

выделяем квадрат суммы/разности в знаменателе:

$- {x}^{2} + 4x + 9 = - ( {x}^{2} - 4x - 9) = - ( {x}^{2} - 4x + 4 - 13) = \\ = - ( {(x - 2)}^{2} - 13) = - ( {(x - 2)}^{2} - {( \sqrt{13} )}^{2} ) = \\ = {( \sqrt{13}) }^{2} - {(x - 2)}^{2}$

$8\int\limits \frac{dx}{ \sqrt{ {(x - 2)}^{2} - {( \sqrt{13} )}^{2} } } = 8\int\limits \frac{d(x - 2)}{ \sqrt{ {(x - 2)}^{2} - {( \sqrt{13}) }^{2} } } = \\ = 8 arcsin( \frac{x - 2}{ \sqrt{13} }) + C$

Ответ:

$- 5 \sqrt{(9 + 4x - {x}^{2} ) } + 8 arcsin( \frac{x - 2}{ \sqrt{13} } ) + C$