Question

Сторона ромба дорівнює 4 см, а гострий кут — 60°. Точка М віддалена від Кожної сторони ромба на 5 см. Знайдіть відстань від точки М до площини ромба.
Сторона ромба равна 4 см, а острый угол - 60 °. Точка М отделена от каждой стороны ромба на 5 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости ромба.

Answer 1

Ответ:

√22 см

Объяснение:

МО - перпендикуляр к плоскости ромба, - искомое расстояние.

Проведем МК⊥АВ, МР⊥ВС, МН⊥CD, МЕ⊥AD.

В прямоугольных треугольниках MKO, MPO, MHO, MEO:

• МК = МР = МН = МЕ = 5 см по условию (расстояния от точки М до сторон ромба),
• МО - общий катет, значит треугольники равны по катету и гипотенузе.

Значит, ОК = ОР = ОН = ОЕ. Эти отрезки - проекции соответствующих наклонных на плоскость ромба. Тогда они перпендикулярны сторонам ромба по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах.

То есть, точка О равноудалена от сторон ромба. Значит О - центр вписанной в ромб окружности (точка пересечения диагоналей), а ОК, ОР, ОН и ОЕ - радиусы вписанной окружности.

Площадь ромба можно найти по формулам:

$S=a^2\cdot \sin\alpha$

где а - сторона ромба, α - угол ромба.

$S=pr$

где р - полупериметр, r - радиус вписанной окружности.

$pr=a^2\cdot \sin\alpha$

$p=\dfrac{1}{2}\cdot 4a=2a$

$2ar=}a^2\cdot \sin\alpha$

$r=\dfrac{1}{2}a\cdot \sin\alpha$

$a=4$ см

$\alpha =60^\circ$

$r=\dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$ см

ΔМОК:  ∠МОК = 90°, МК = 5 см, ОК = r = √3 см .

По теореме Пифагора:

 $MO=\sqrt{MK^2-OK^2}=\sqrt{5^2-\sqrt{3}^2}=\sqrt{25-3}=\sqrt{22}$  см