Question

Решите пожалуйста даю 100​

Answer 1

Ответ:

1.

Ответ: а), б)

2.

а)

$1 - \frac{ \sin( 2\alpha ) }{ \cos( \alpha ) } \times \sin( \alpha ) = 1 - \frac{2 \cos( \alpha ) { \sin}^{2} ( \alpha ) }{ \cos( \alpha ) } = \\ = \frac{ \cos( \alpha ) - 2 \cos( \alpha ) { \sin}^{2}( \alpha ) }{ \cos( \alpha ) } = \\ = \frac{ \cos( \alpha ) (1 - 2 { \sin }^{2} (\alpha ) }{ \cos( \alpha ) } = 1 - 2 { \sin }^{2} ( \alpha ) = \cos( 2\alpha )$

б)

$\frac{( \sin(2 \alpha ) + 1) ( \cos( \alpha ) - \sin( \alpha )) }{ \cos( \alpha ) + \sin( \alpha )) } \times \frac{ \cos( \alpha ) - \sin( \alpha ) }{ \cos( \alpha ) - \sin( \alpha ) } = \\ = \frac{( \sin(2 \alpha ) + 1) {( \cos( \alpha ) - \sin( \alpha )) }^{2} }{ { \cos }^{2} \alpha - { \sin}^{2} (\alpha ) } = \\ = \frac{ (\sin(2 \alpha ) + 1)( \cos ^{2} ( \alpha ) - 2 \sin( \alpha ) \cos( \alpha ) + { \sin }^{2}( \alpha )) }{ \cos( 2\alpha ) } = \\ = \frac{( \sin( 2\alpha ) + 1)(1 - \sin( 2\alpha )) }{ \cos( 2\alpha ) } = \frac{1 - { \sin}^{2} (2\alpha ) }{ \cos( 2\alpha ) } = \\ = \frac{ \cos( 2\alpha ) }{ \cos( 2\alpha ) } = 1$

3.

а)

$\sin(x) + \cos(x) = 1$

умножим каждый член на корень из 2 / 2

$\frac{ \sqrt{2} }{2} \sin(x) + \frac{ \sqrt{2} }{2} \cos(x) = \frac{ \sqrt{2} }{2}$

представим левую часть как сумму углов синуса:

$\cos( \frac{\pi}{4} ) \sin(x) + \sin( \frac{\pi}{4} ) \cos(x) = \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \sin(x + \frac{\pi}{4} ) = \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \\ x1 + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi \: n \\ x1 = 2\pi \: n \\ \\ x2 + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2 \pi \: n \\ x2 = \frac{\pi}{2} + 2 \pi \: n$

n принадлежит Z.

б)

$\sin ^{2} (x) + 5 \sin(x) + 4 = 0$

замена:

$\sin(x) = t \\ \\ {t}^{2} + 5t + 4 = 0 \\ d = 25 - 16 = 9 \\ t1 = \frac{ - 5 + 3}{2} = - 1 \\ t2 = - 4 \\ \\ \sin(x) = - 1 \\ x = - \frac{\pi}{2} + 2\pi \: n$

второй корень не подходит, так область определения синуса:

$- 1 \leqslant \sin(x) \leqslant 1$

Ответ:

$x = - \frac{\pi}{2} + 2 \pi \: n$

n принадлежит Z.