Question

Помогите решить пожалуйста!
Алгебра.4 ВАРИАНТ
ДАЮ 50 БАЛОВ

Answer 1

Ответ:

1.

Возьмём производную F(x):

$F'(x) = (3 {x}^{5} - \sin ^{2} ( x ) + 2) = \\ = 15 {x}^{4} - 2 \sin(x) \times \cos(x) + 1 = \\ = 15 {x}^{4} - \sin(2x)$

Она не равна f(x)

Ответ: F(x) не является первообразной f(x).

2.

$a)F(x) = \int\limits {(3x + 2)}^{4} - \frac{1}{ {x}^{6} } )dx = \\ = \frac{1}{3} \int\limits {(3x + 2)}^{4} d(3x + 2) - \int\limits {x}^{ - 6} dx = \\ = \frac{1}{3} \times \frac{ {(3x + 2)}^{5} }{5} - \frac{ {x}^{ - 5} }{( - 5)} + C = \\ = \frac{ {(3x + 2)}^{5} }{15} + \frac{1}{5 {x}^{5} } + C$

б)

$F(x) = \int\limits(2x - \frac{3}{ \sin ^{2} (x) } + 6)dx = \\ = \frac{2 {x}^{2} }{2} + 3ctg(x) + 6x +C = \\ = {x}^{2} + 3ctg(x) + 6x + C$

3.

$V(t) = \int\limits \: a(t)dt = \int\limits(6 {t}^{2} + 2t - 3)dt = \\ = \frac{6 {t}^{3} }{3} + \frac{2 {t}^{2} }{2} - 3t + C1 = \\ = 2 {t}^{3} + {t}^{2} -3 t + C1$

$S(t) =\int\limits \: V(t)dt\int\limits(2 {t}^{3} + {t}^{2} - 3t) dt = \\ = \frac{2 {t}^{4} }{4} + \frac{ {t}^{3} }{3} - \frac{3 {t}^{2} }{2} + C1t + C2 = \\ = \frac{ {t}^{4} }{2} + \frac{ {t}^{3} }{3} - \frac{3 {t}^{2} }{2} + C1t + C2$

теперь найдем С1 и С2. Для этого составим систему по данным:

t =1 и v = 4; t = 1 и s= 15.

Первые две подставляем в уравнение скорости, две последние - расстояния.

$4 = 2 \times {1}^{3} + {1}^{2} - 3 + C1 \\ 15 = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + C1 + C2 \\ \\ C1 = 4 - 2 - 1 + 3 = 4 \\ C2 = 15 - \frac{1}{3} + 1 - C1 = \\ = 15 + \frac{2}{3} - 4 = 11 + \frac{2}{3} = \frac{35}{3}$

Получаем:

$S(t) = \frac{ {t}^{4} }{2} + \frac{ {t}^{3} }{3} - \frac{3 {t}^{2} }{2} + 4t + \frac{35}{3}$

уравнение расстояния

4.

а)

$F(x) = \int\limits(4 {x}^{3} - \frac{1}{2 \sqrt{x - 1} } )dx = \\ = \frac{4 {x}^{4} }{4} - \frac{1}{2} \int\limits {(x - 1)}^{ - \frac{1}{2} } d(x - 1) = \\ = {x}^{4} - \sqrt{x - 1 } + C$

в А(2;0)

$0 = {2}^{4} - \sqrt{2 - 1} + C\\ C = - 16 + 1 = - 15$

$F(x) = {x}^{4} - \sqrt{x - 1} - 15$

б)

$F(x) = \int\limits( { \sin }^{2}(x) + { \cos }^{2} (x) + \frac{1}{3} \sin(3x) )dx = \\ = \int\limits(1 + \frac{1}{3} \sin(3x) dx) = \\ = \int\limits \: dx + \frac{1}{9} \int\limits \sin(3x) d(3x) = \\ = x - \frac{1}{9} \cos(3x) + C$

в А(П/6; П/6):

$\frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{ 6} - \frac{1}{9} \cos( \frac{\pi}{2} ) + C\\ C = \frac{1}{9} \times 0 \\ C = 0$

$F(x) = x - \frac{1}{9} \cos(3x)$