Question

В треугольнике АВС угол А равен 120. ВM и CN высоты треугольника. Точка К


середина стороны ВС

a ) Докажите что треугольник KMN - равносторонний


б) Найдите площадь треугольника KMN, если радиус окружности. описанной вокруг треугольника ABC, равен 2корень(3).

Answer 1

а)

Отрезок BC виден из точек M и N под прямым углом - точки M и N лежат на окружности с диаметром BC.

Точка K - середина диаметра - центр окружности.

Найдем ∠BAC как угол между хордами BN и CM

∠BAC =(∪BC+∪MN)/2 => ∪MN =2∠BAC -∪BC =120*2 -180 =60°

KM=KN (радиусы), ∠MKN=∪MN=60 (центральный угол) =>

△KMN - равнобедренный с углом 60 - равносторонний.

б)

Теорема синусов

BC/sin(BAC) =2R => BC =2 *2√3 *√3/2 =6

KM =BC/2 =3

Площадь равностороннего треугольника

S(KMN) =√3/4 KM^2 =9√3/4