Question

Ваня играет в компьютерную игру. Он начинает с 0 очков, а для перехода на следующий
уровень ему нужно набрать не менее 10 000 очков. После первой минуты игры добавляет-
ся 2 очка, после второй 4 очка, после третьей - восемь очков и так далее. Таким обра-
зом, после каждой следующей минуты игры количество добавляемых очков удваивается.
Через сколько минут Ваня перейдёт на следующий уровень?
​

Answer 1

Ответ:

Через 13 минут

Объяснение:

По условию добавляется очка (очков) после

1-минуты → 2

2-минуты → 4=2·2=2²

3-минуты → 8=4·2=2³

...

n-минуты → 2ⁿ.

Нам нужно найти при каком наименьшем значении n выполняется неравенство:

2+2²+2³+...+2ⁿ ≥ 10000.

Очевидно, левая часть неравенства получается как сумма первых n членов геометрической прогрессии с первым членом b₁ = 2 и знаменателем q = 2.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле

$\tt S_n=\dfrac{b_1 \cdot (q^n-1)}{q-1}.$

В силу этого неравенство примет вид:

$\tt \dfrac{2 \cdot (2^n-1)}{2-1} \geq 10000.$

Решаем неравенство:

$\tt \dfrac{2 \cdot (2^n-1)}{1} \geq 10000\\\\2 \cdot (2^n-1) \geq 10000\\\\2^n-1 \geq 5000\\\\2^n \geq 5001.$

Так как

$\tt 2^{12}=4096, \; 2^{13} = 8192,$

то ответом будет n = 13.