Question

$sqrt{2^3sqrt{5^3sqrt{2^3sqrt{5^3sqrt{2^3...}}}}}$

Answer 1

$sqrt{8{sqrt{125{sqrt{8sqrt{125sqrt{8....}}}}}}}} =$
можно вывести рекуррентную формулу , обозначим 
$a_{n}=sqrt{8{sqrt{125}}} =2^{frac{3}{2}}*5^{frac{3}{4}}\ a_{n+1}=sqrt{8{sqrt{125{sqrt{8sqrt{125}}}}}} = 2^{frac{15}{8}}*5^{frac{15}{16}}\ a_{n+2}=sqrt{8{sqrt{125{sqrt{8sqrt{125sqrt{8....}}}}}}}} = 2^{frac{63}{32}}*5^{frac{63}{64}}\ ....$
можно заметить то что это  выражение представим в виде 
$a_{n}=5^{frac{2^{2n}-1}{2^{2n}}}*2^{frac{2^{2n}-1}{0.5*2^{2n}}} \ n={1;2;3;4;5....}$