Question

При каких значениях p вершины парабол у = -x2 + 2px + 3 и y = x2 - 6px + p расположены по разные стороны от оси х?​

Answer 1

Ответ:

вершины парабол  расположены по разные стороны от оси ОХ при

р ∈ (-∞; 0) ∪ (1/9; +∞)

Пошаговое объяснение:

Координаты рершины параболы

$\displaystyle (-\frac{b}{2a};-\frac{b^2-4ac}{4a} } )$

Нас интересует координата по у.

Для первого уравнения мы получим

$\displaystyle -\frac{4p^2-4*(-1)*3}{-4} = \frac{4p^2+12}{4}=p^2+3$   ⇒  p² +3 > 0 при ∀ р

Значит, при  ∀ р парабола у = -x² + 2px + 3 лежит выше оси ОХ.

Для второго уравнения теперь уже координата вершины  по у должна быть  < 0

$\displaystyle -\frac{36p^2-4p}{4}=} =-9p^2+p$

-9p² +p < 0 ⇒  методом интервалов найдем решение

 p₁ < 0;  p₂ > 1/9

Таким образом, вершины парабол

у = -x² + 2px + 3 и  y = x² - 6px + p

расположены по разные стороны от оси ОХ при

р ∈ (-∞; 0) ∪ (1/9; +∞)