Question

Найдите значение n, при котором AB диаметр окружности (x−5)2+(y+4)2=17, если A(1;−5),B(9;n).

Answer 1

Нужно знать:

1) диаметр равен 2-м радиусам, т.е. D = 2R;

2) уравнение окружности имеет вид: (х - а)² + (y - b)² = R², где (a; b) - координаты центра окружности, R - радиус;

3) формула для нахождения расстояния между двумя точками А(х₁; у₁) и В(х₂; у₂): АВ² = (х₂ - х₁)² + (у₂ - у₁)²;

4) центр окружности - середина диаметра, т.е. середина отрезка АВ, а значит, координаты центра - это полусуммы сответствующих координат концов отрезка, т.е. а = (х₁ + х₂)/2, b = (у₁ + у₂)/2.

Поэтому:

(x - 5)² + (y + 4)² = 17 - уравнение данной окружности

A(1; -5), B(9; n) - концы диаметра.

Координаты центра окружности: (5; -4), R = √17.

1-й способ.

Длина отрезка АВ равна:

АВ² = (9 - 1)² + (n + 5)² = 8² + n² + 10n + 25 = n² + 10n + 89.

С другой стороны АВ = 2R = 2√17, т.е. АВ² = (2√17)² = 4 · 17 = 68.

Составим и решим уравнение

n² + 10n + 89 = 68,

n² + 10n + 21 = 0,

D = 10² - 4 · 1 · 21 = 100 - 84 = 16; √16 = 4,

n₁ = (-10 + 4)/(2 · 1) = -6/2 = -3,

n₂ = (-10 - 4)/(2 · 1) = -14/2 = -7 - не подходит (см. 2-й способ).

2-й способ.

Координаты центра окружности: (5; -4).

(1 + 9)/2 = 10/2 = 5 - совпадает,

(-5 + n)/2 = -4,

-5 + n = -8,

n = -8 + 5,

n = -3.

Ответ: -3.