Question

ПОМОГИТЕ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ЗАВТРА КАПЕЦ

Answer 1

Ответ:

Это ДУ с разделяющимися переменными.

$z'x + z = z ln(z) \\ z'x = z ln(z) - z \\ z'x = z( ln(z) - 1) \\ \frac{dz}{dx} x = z(ln(z) - 1) \\ \int\limits \frac{dz}{z(lnz - 1)} = \int\limits \frac{dx}{x} \\ \\ \int\limits \frac{dz}{z(lnz - 1)}$

1/z - это производная логарифма: (lnz)'=1/z. Заносим в дифференциал:

$\int\limits \frac{1}{z} \times \frac{dz}{lnz - 1} = \int\limits \frac{d(lnz)}{lnz - 1} = \\ = \int\limits \frac{d(lnz - 1)}{lnz - 1}$

интегрируем как переменную

$= ln( ln(z) - 1) + C$

$\int\limits \frac{dx}{x} = ln(x) + C$

это табличный интеграл

получаем:

$ln( ln(z) - 1 ) = ln(x) + C$

константу представляем в удобном нам виде:

$ln( ln(z) - 1) = ln(x) + ln(C1) \\ ln( ln(z) - 1 ) = ln(c1x) \\ ln(z) - 1 = C1x \\ ln(z) = C1x + 1 \\ \\ z = {e}^{C1x + 1}$

Дальше видимо переход от замены. У вас тут не дано изначальное уравнение.

Переходим:

$\frac{y'}{x} = {e}^{c1x + 1} \\ y' = x {e}^{C1x + 1}$

$y = \int\limits \: x {e}^{C1x + 1} dx$

такой интеграл решается по частям:

$U= x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: dU = x'dx = dx \\ dV= {e}^{C1x + 1} dx \: \: \: \: \: \: \: \: V = \int\limits {e}^{C1x + 1} dx = \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \frac{1}{C1} \int\limits {e}^{C1 + 1} d(C1x + 1) = \\ = \frac{1}{C1} {e}^{C1x + 1}$

$\int\limits \: UdV = UV - \int\limits \: VdU = \\ = \frac{x}{C1} {e}^{C1x + 1} - \frac{1}{C1} \int\limits {e}^{C1x + 1} dx = \\ = \frac{x}{C1} {e}^{C1x + 1} - \frac{1}{C1} \times \frac{1}{C1} \int\limits {e}^{C1x + 1} d(C1x + 1) = \\ = \frac{x}{C1} {e}^{C1x + 1} - \frac{1}{ {(C1)}^{2} } {e}^{C1x + 1} + C2 = \\ = \frac{1}{C1} {e}^{C1x + 1} (x - \frac{1}{C1} ) + C2$

общее решение