Question

В треугольнике ABC, у которого AB + BC = 2AC, проведена биссектриса BL . Окружность, проходящая через точки , B L и касающаяся прямой AC , пересекает стороны AB и BC в точках M и N . Докажите, что MN | AC и найдите отношение MN : AC

Answer 1

O - центр окружности

OL⊥AC (радиус в точку касания)

Биссектриса BL делит дугу MN пополам.

Радиус OL делит дугу MN пополам, следовательно перпендикулярен хорде MN.

(В равнобедренном △MON биссектриса OL является высотой.)

OL⊥AC, OL⊥MN => MN||AC

По теореме о биссектрисе

AB/AL =BC/CL

По условию

AB +BC =2AC =>

AL*AB/AL +CL*BC/CL =2AC =>

AB/AL (AL+CL) =2AC => AB/AL =2

По теореме о касательной и секущей

AL^2 =AB*AM => AL/AM =AB/AL =2

AL/AM *AB/AL =AB/AM =4/1

△MBN~△ABC (стороны параллельны) => MN/AC =MB/AB =3/4