Question

Найти неопределённый интеграл. Правильность полученных результатов проверить дифференцированием.
20 вариант на фото а); б); в)

Answer 1

$20.a)\ \ \int \dfrac{dx}{\sqrt{1-25x^2}\cdot arcsin^35x}=\int (arcsin5x)^{-3}\cdot \dfrac{dx}{\sqrt{1-25x^2}}=\Big[\ t=arcsin5x\ \Big]=\\\\\\=\dfrac{1}{5}\int t^{-3}\cdot dt=\dfrac{1}{5}\cdot \dfrac{t^{-2}}{-2}+C=-\dfrac{1}{10\cdot arcsin^25x}+C$

$20.b)\ \ \int e^{6x+7}\, dx=\Big[\ t=6x+7\ ,\ dt=6\, dx\ \Big]=\dfrac{1}{6}\int e^{t}\, dt=\dfrac{1}{6}\cdot e^{t}+C=\\\\={}\ \ \ \ \dfrac{1}{6}\cdot e^{6x+7}+C\\\\\\\star \ \ \int e^{kx+b}\, dx=\dfrac{1}{k}\cdot e^{kx+b}+C\ \ \star$

$20.\, c)\ \ \int \dfrac{dx}{9x^2+16}=\int \dfrac{dx}{(9x)^2+4^2}=\Big[\ t=3x\ ,\ dt=3\, dx\ ,\ dx=\dfrac{1}{3}dt\ \Big]=\\\\\\=\dfrac{1}{3}\int \dfrac{dt}{t^2+4^2}=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{4}\cdot\frac{x}{y} arctg\dfrac{t}{4}+C=\dfrac{1}{12}\cdot arctg\dfrac{3x}{4}+C\\\\\\\star \ \ \int \dfrac{dx}{(kx+b)^2+a^2}=\dfrac{1}{a}\cdot \dfrac{1}{k}\cdot arctg\dfrac{kx+b}{a}+C\ \ \star$