Question

Для функции f(x) выполняется тождество f(x+1)=f(x)+x при всех целых x .

Известно, что f(1000)=1 . Найдите f(2021).​

Answer 1

$f(2021)=f(2020)+2020$

Найдем f(2020):

$f(2020)=f(2019)+2019$

Тогда преобразуем выражение для f(2021):

$f(2021)=f(2019)+2019+2020$

Найдем f(2019):

$f(2019)=f(2018)+2018$

Тогда еще преобразуем выражение для f(2021):

$f(2021)=f(2018)+2018+2019+2020$

Рассуждая аналогично, получим:

$f(2021)=f(1000)+1000+1001+1002+...+2020$

Найдем сумму $1000+1001+1002+...+2020$ как сумму первых $(2020-1000+1)$ членов арифметической прогрессии с первым членом 1000 и последним членом 2020:

$S=\dfrac{1000+2020}{2} \cdot(2020-1000+1)=1541710$

Найдем ответ:

$f(2021)=f(1000)+S=1+1541710=1541711$

Ответ: 1541711