Question

Найдите остаток при делении на 100 числа 1!+2!+3!+...+2020!+2021!.

​

Answer 1

Заметим, что уже число 10! делится на 100:

$10!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9\cdot10=(2\cdot5)\cdot(4\cdot10)\cdot(3\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9)$

Каждая из первых двух скобок делится на 10, значит все число делится на 100.

Любое число вида $N!,\ N>10$ представим в виде произведения:

$N!=(10!\cdot11\cdot12\cdot... \cdot N)\ \vdots\ 10!\Rightarrow\ \vdots\ 100$

Итак, все слагаемые, начиная с 10! делятся на 100.

Рассмотрим оставшиеся слагаемые и найдем их сумму по модулю 100:

$1!+2!+3!+4!+5!+6!+7!+8!+9!=$

$=1+2+6+24+120+720+5040+40320+3628880\equiv$

$\equiv1+2+6+24+20+20+40+20+80=213\equiv13\pmod{100}$

Значит, остаток от деления заданного числа на 100 равен 13.

Ответ: 13