Question

Доказать признак перпегдикулярности прямой и плоскости

Answer 1

Доказательство:
Пусть а прямая, перпендикулярная прямым b и c в плоскости . Тогда
прямая а проходит через точку А пересечения прямых b и c . Докажем, что
прямая а перпендикулярна плоскости .
Проведем произвольную прямую х через точку А в плоскости и
покажем, что она перпендикулярна прямой а. Проведем в плоскости
произвольную прямую, не проходящую через точку А и пересекающую
прямые b , c и х . Пусть точками пересечения будут В , С и Х .
Отложим на прямой а от точки А в разные стороны равные отрезки АА 1 и
АА 2. Треугольник А 1СА 2 равнобедренный, так как отрезок АС является
высотой по условию теоремы и медианой по построению ( АА 1 =АА 2). по
той же причине треугольник А 1 ВА 2 тоже равнобедренный. Следовательно,
треугольники А 1ВС и А 2 ВС равны по трем сторонам.
Из равенства треугольников А 1ВС и А 2ВС следует равенство углов А 1ВХ и
А 2ВХ и, следовательно равенство треугольников А 1ВХ и А 2 ВХ по двум
сторонам и углу между ними. Из равенства сторон А 1Х и А 2Х этих
треугольников заключаем, что треугольник А 1ХА 2 равнобедренный.
Поэтому его медиана ХА является также высотой. А это и значит, что
прямая х перпендикулярна а. По определению прямая а перпендикулярна
плоскости . Теорема доказана.