Question

Помогите пожалуйста даю вам 30 баллов

Answer 1

Ответ:

Если х=7  - корень многочлена  $x^4+ax^3-40x^2-107x-35$  ,  то должно выполняться равенство   $7^4+a\cdot 7^3-40\cdot 7^2-107\cdot 7-35=0$  .  

Тогда   $2401+343a-1960-749-35=0\ \ \Rightarrow \ \ \ 343a-343=0\ \ ,\ \ a=1$  .

Следовательно можно разделить многочлен  $x^4+x^3-40x^2-107x-35$  

нацело на разность   $(x-7)$  . Получим

$x^4+x^3-40x^2-107x-35=(x-7)(x^3+8x^2+16x+5)$  .

А теперь на основании указанной теоремы корнем многочлена, стоящего во второй скобке, будут делители числа 5, то есть числа $\pm 1\ ,\ \pm 5\ .$  Проверим число  $-5$ .

$(-5)^3+8\cdot (-5)^2+16\cdot (-5)+5=-125+200-80+5=0$

Значит х= -5  -  корень многочлена  $x^3+8x^2+16x+5$  . И поэтому этот многочлен нацело разделится на  двучлен  $x-(-5)=x+5$  .

$x^3+8x^2+16x+5=(x+5)(x^2+3x+1)$

Теперь осталось найти корни квадратного трёхчлена  $x^2+3x+1$  .

$D=3^2-4\cdot 1\cdot 1=9-4=5\ \ ,\ \ x_1=\dfrac{-3-\sqrt5}{2}\ \ ,\ \ x_2=\dfrac{-3+\sqrt5}{2}$

Итак, получили

$x^4+x^3-40x^2-107x-35=\Big(x-7\Big)\Big(x+5\Big)\Big(x-\dfrac{-3-\sqrt5}{2}\Big)\Big(x-\dfrac{-3+\sqrt5}{2}\Big)$

Сумма корней заданного многочлена равна

$7-5+\dfrac{-3-\sqrt5}{2}+\dfrac{-3+\sqrt5}{2}=2+\dfrac{-6}{2}=2-3=-1$

 P.S.  Если учили теорему Виета для уравнения 4 степени, то сумма корней уравнения  $a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0$   равна  $-\dfrac{a_3}{a_4}$  .  В заданном многочлене  $a_3=a=1$  ,  $a_4=1$  ,  поэтому  $-\dfrac{a_3}{a_4}=-1$   ,что соответствует найденному ранее значению .