Question

Актуально до 8.00 МСК, 26 января 2021 г. .
При каких целых значениях параметра а равенство
|х²+5х-а| +|5x²+ax+7|=6x²+(a+5)x+7-a
выполняется при всех значениях х.

Answer 1

рассмотрим данное равенство

если модули правого выражения будут раскрыты не отрицательно, то получим равенство:

$\displaystyle x^2+5x-a+5x^2+ax+7=6x^2+(a+5)x+7-a$

и в этом случае правое выражение будет равняться левому для любых х

Значит нам необходимо задать условие ,

$\displaystyle \left \{ {{x^2+5x-a\geq 0} \atop {5x^2+ax+7\geq 0}} \right.$

для любых х

если рассмотреть квадратные трехчлены как функции то мы получим две параболы с ветвями "вверх". Чтобы выполнялись данные неравенства необходимо чтобы данные функции не имели нулей.  А значит квадратные уравнения должны иметь отрицательный дисткриминант

$\displaystyle \left \{ {{D=25-4(-a)<0} \atop {D=a^2-4*5*7<0}} \right.\\\\\left \{ {{25+4a<0} \atop {a^2-140<0}} \right. \\\\\ 4a<-25; a< -6.25\\\\\ a^2<140; -\sqrt{140}<a<\sqrt{140}$

тогда целые промежутки это (- ∞; -7] и [-11;11]

общее решение [-11; -7]

Целые значения а: -11, -10, -9, -8, -7