Question

Решить дифференциальное уравнение


Очень нужно фото с решением, помогите пожалуйста!

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Это уравнение Бернулли

Разделим на у^2.

$\frac{y'}{ {y}^{2} } + \frac{1}{xy} = ln(x)$

замена:

$\frac{1}{y} = z \\ z' = - {y}^{ - 2} \times y'= - \frac{y'}{ {y}^{2} } \\ \frac{y'}{ {y}^{2} } = - z'$

$- z' + \frac{z}{x} = ln(x) \\ z' - \frac{z}{x} = - ln(x)$

- линейное ДУ

замена:

$z = uv \\ z = u'v + v'u$

$u'v + v'u - \frac{uv}{x} = - ln(x) \\ u'v + u(v' - \frac{v}{x} ) = - ln(x) \\ \\ 1)v' - \frac{v}{x} = 0 \\ \frac{dv}{dx} = \frac{v}{x} \\ \int\limits \frac{dv}{v} = \int\limits \frac{dx}{x} \\ ln(v) = ln(x) \\ v = x \\ \\ 2)u'v = - ln(x) \\ \frac{du}{dx} x = - ln(x) \\ \int\limits \: du = - \int\limits \: x ln(x) dx$

решим отдельно интеграл:

$\int\limits \: x ln(x) dx$

по частям:

$u = ln(x) \: \: \: \: \: \: \: du = \frac{1}{x} dx \\ dv = xdx \: \: \: \: \: \: \: v = \frac{ {x}^{2} }{2}$

$\frac{ {x}^{2} }{2} ln(x) - \int\limits \frac{ {x}^{2} }{2} \times \frac{dx}{x} = \\ = \frac{ {x}^{2} }{2} ln(x) - \frac{ {x}^{2} }{4} + C= \\ = \frac{ {x}^{2} }{2} ( ln(x) - \frac{1}{2} ) + C$

получаем:

$u = - \frac{ {x}^{2} }{2} ( ln(x) - \frac{1}{2} ) + C$

$z = uv = x \times (( - \frac{1}{ {x}^{2} } )( ln(x) - \frac{1}{2} ) + C) = \\ = - \frac{1}{x} ( ln(x) - \frac{1}{2} ) + Cx \\ \\ \frac{1}{y} = Cx - \frac{1}{x} ( ln(x) - \frac{1}{2})$

общее решение