Question

ДАЮ 100 БАЛЛОВ
У правильному тетраедрі ABCD CM=MB ( M∈CB ) . Знайдіть кут між прямими AM і BD.

Answer 1

В правильном тетраэдре ABCD точка M - середина BС. Найдите угол между прямыми AM и BD.

Прямая BD пересекает плоскость (ABC) в точке, не лежащей на прямой AM - прямые AM и BD скрещиваются.

Угол между скрещивающимися прямыми - угол между параллельными им пересекающимися прямыми.

Проведем MN||BD

∠AMN - искомый угол.  

Правильный тетраэдр, все грани - правильные треугольники.  

Пусть все ребра равны а

N - середина CD (т Фалеса)

MN=a/2 (средняя линия)

AM=AN =a√3/2 (медианы в равностороннем треугольнике)  

△MAN - равнобедренный

cos(AMN) =MN/2AM =2a/4a√3 =√3/6

∠AMN =arccos(√3/6)