Question

(bn)-геометрическая прогрессия в которой,b1+b2=6 а b2+b3=30 Найдите сумму первых трех членов этой прогрессии

Answer 1

Ответ:

S₃ = 31

Объяснение:

Формула для нахождения  $b_n$  в геометрической прогрессии :


$\boldsymbol{b_n=b_1+(n-1)q}$

Формула для нахождения суммы n-x членов прогрессии :

$\boldsymbol{S_n=\dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1} }$


Где  

b₁ - первый член прогрессии

q - знаменатель прогрессии

n- номер  последнего числа прогрессии

По условию нам известно что :

$1) ~ b_1+b_2=6 \\\\ 2) ~ b_2+b_3=30$

Если расписать по формуле то выйдет :

$1) ~ b_1+b_1q=6 \\\\ 2) ~ b_1q+b_1q^2=30$


Составим систему

$\left \{ \begin{array}{lll} b_1+b_1q=6 \\\\ b_1q+b_1q^2=30 \end{array}\right \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{lll} b_1 (1+q)=6 \\\\ b_1(q+q^2)=30 \end{array}\right$

Разделим первое уравнение системы на второе

$\displaystyle \frac{b_1(1+q)}{b_1(q+q^2)} =\frac{6}{30} \\\\\\ \frac{1+q}{q+q^2}=\frac{1}{5} \\\\\\ q+q^2= 5+5q \\\\ q^2-4q-5= 0$

По теореме Виета  :

$\left \{ \begin{array}{lll} q_1+q_2=4 \\\\ q_1q_2=-5 \end{array} \right. \Leftrightarrow q_1=-1 ~~ ; ~~ q_2=5$

Найдем  значение b₁  при q  =  -1

$b_1(q+1)=6\\\\b_1(-1+1)=6 \\\\ 0 \neq 6$

Нет решений  при  q  =  -1

Найдем  значение b₁  при q  =  5


$\hspace{em }b_1(1+5)=6 \\\\ 6b_1=6 \\\\ b_1=1$


Найдем сумму первых трех членов :

$S_3=\dfrac{1((5)^3-1)}{5-1} =\dfrac{124}{4} =31$