Question

Нужна помощь в математике !
Дифференциальное уравнение

Answer 1

Ответ:

$y'' + y '= - 2 \sin(x)$

1. Решим ОЛДУ

$y ''+ y' = 0 \\ y = {e}^{kx} \\ {k}^{2} + k = 0 \\ k(k + 1) = 0 \\ k1 = 0 \\ k2 = - 1 \\ y = C1 {e}^{0x} + C2 {e}^{ - x} \\ y = C1 + C2 {e}^{ - x}$

2. Подбираем у с неопределенными коэффициентми

$y = A \sin(x) + B \cos(x) \\ y' = A \cos(x) - B \sin(x) \\ y'' = - A \sin(x) - B \cos(x)$

подставляем в НЛДУ:

$- A \sin(x) - B\cos(x) + A \cos(x) - B \sin(x) = - 2 \sin(x) \\ \\ - A- B= - 2 \\ - B + A= 0 \\ \\ A = B \\ - B - B= - 2 \\ - 2B = - 2 \\ B = 1 \\ A = 1$

получаем:

$y = \sin(x) + \cos(x)$

$y = C1 + C2 {e}^{ - x} + \sin(x) + \cos(x)$

общее решение

$y(0) = 1,y'(0) = 1$

$y' = - C2 {e}^{ - x} + \cos(x) - \sin(x)$

система:

$1 = C1 + C2 + 1 \\ 1 = - C2 + 1 \\ \\ C2 = 0 \\ C1 = - C2 = 0$

$y = \sin(x) + \cos(x)$

частное решение