Question

Помогите пожалуйста!!! Решите уравнение используя свойства функций.
√(2х+1)+√(х-3)=4+log1/2 (x-3)

Answer 1

Ответ:

Уравнение имеет единственное решение: x = 4

Объяснение:

√(2х+1)+√(х-3)=4+log1/2 (x-3)

ОДЗ: x-3 > 0

Для удобства можно заменить: x-3 = t>0; 2x+1 = 2(t+3)+1  = 2t+7

√(2t+7)+√t - log1/2 t - 4 = 0

√(2t+7)+√t + log2 t - 4 = 0

Заметим, что при t > 0 функции: √(2t+7), √t, log2 t монотонно             возрастают, а значит функция f(t) = √(2t+7)+√t + log2 t - 4 также монотонно возрастает. Таким образом, функция f(t)  может принимать нулевое значение только в одной точке, иначе говоря, уравнение f(t) = 0 имеет не более одного решения.  

Нетрудно заметить, что это решение существует: t = 1

Действительно, подставляя t = 1 в данное уравнение имеем:

√9+√1 + log2 1 - 4 = 0 - верно.

Возвращаемся к замене:

x-3 = 1

x = 4