Question

Дискретная математика! Даю 50 баллов помогите пожалуйста! Нужно полное решение и расписать

Answer 1

2)

Доказательство "⇒".

Пусть у нас дано A⊂B∩C, докажем тогда, что

2.1) A⊂B

и

2.2) A⊂C.

2.1) x∈A⊂B∩C, ⇒ x∈B∩C⊂B, ⇒ x∈B. чтд.

2.2) x∈A⊂B∩C, ⇒ x∈B∩C⊂C, ⇒ x∈C. чтд.

Доказательство "<=".

Пусть у нас дано A⊂B и A⊂C. Докажем тогда, что

A⊂B∩C.

Пусть x∈A, тогда по условию (A⊂B и A⊂C), имеем

x∈B и x∈C, ⇔ x∈B∩C. чтд.

3)

Доказательство "⇒".

Пусть у нас дано A∩B⊂C. Докажем тогда, что

$A\subset B^c \cup C$

Пусть x∈A. Тут возможны два варианта: x∈B либо x∉B.

Первый случай: x∈A и x∈B, ⇔ x∈A∩B⊂C, ⇒ x∈C⊂ $B^c \cup C$, ⇒

⇒ $x\in B^c \cup C$

Второй случай: x∈A и x∉B, ⇒ x∈A и $x\in B^c$, ⇒

⇒ $x\in A\cap B^c \subset B^c$, ⇒

⇒ $x\in B^c \subset B^c \cup C$, ⇒

⇒ $x\in B^c \cup C$

чтд.

Доказательство "<=".

Пусть у нас дано $A\subset B^c \cup C$. Докажем тогда, что

$A\cap B \subset C$.

Пусть x∈A∩B ⊂A, ⇒ x∈A⊂ $B^c \cup C$, ⇒

⇒ $x\in B^c \cup C$, ⇒ $x\in B^c$ или $x\in C$

Первый случай: $x\in B^c$, ⇔ x∉B. Но у нас x∈A∩B⊂B, то есть x∈B. То есть имеем x∉B и x∈B, ⇒ x∈∅⊂C, ⇒ x∈C.

Второй случай: x∈C. То есть требуемое уже доказано. чтд.