Question

Помогите пожалуйста Дискретная математика
Ответить и расписать, даю 35 баллов!

Answer 1

Я докажу первое и последнее, остальное - сам.

1)

Доказательство "⇒".

Пусть у нас дано ((A∪B)⊂C), докажем тогда, что

1.1) A⊂C,

и

1.2) B⊂C.

1.1) x∈A⊂A∪B, ⇒ x∈A∪B⊂С, ⇒ x∈C. То есть A⊂C.

1.2) x∈B⊂A∪B, ⇒ x∈A∪B⊂C, ⇒ x∈C. То есть B⊂C.

чтд.

Доказательство "<=".

Пусть у нас дано: A⊂C и B⊂C. Докажем тогда, что

A∪B⊂C.

Пусть x∈A∪B, ⇔ x∈A или x∈B.

a) x∈A⊂C, ⇒ x∈C.

б) x∈B⊂C, ⇒ x∈C.

То есть A∪B⊂C.

чтд.

4)

Доказательство "⇒".

Пусть у нас дано (A⊂(B∪C)). Докажем тогда, что

$((A\cap B^c)\subset C$

Пусть $x\in A\cap B^c$, ⇔ $x\in A$ и $x\in B^c$, ⇔

$x\in A$ и $x\notin B$

Тогда т.к. A⊂B∪C, имеем

$x\in B\cup C$ и $x\notin B$

$((x\in B)\vee (x\in C))\wedge (x\notin B)$

Первый случай. Если x∈B и x∉B, то x∈∅⊂C ⇒ x∈C.

Второй случай. Если x∈C и x∉B, то x∈C\B⊂C, ⇒ x∈C.

чтд.

Доказательство "<=".

Пусть у нас дано $A\cap B^c \subset C$, докажем тогда, что

A⊂ B∪C.

Пусть x∈A. Тут возможны два варианта x∈B, либо x∉B.

Случай первый: x∈A и x∈B, ⇒ x∈A∩B⊂B, ⇒ x∈B⊂B∪C, ⇒ x∈B∪C.

Случай второй: x∈A и x∉B, ⇒ $x\in A$ и $x\in B^c$, ⇒

⇒ $x\in A\cap B^c \subset C$, ⇒ x∈C⊂B∪C, ⇒ x∈B∪C.

чтд.