Question

СРОЧНО ДАМ 50 баллов
Пусть множество S натуральных чисел такого, что для любых х,у из S верно, что х<у, выполнено ху +2<106у-130х. Найдите максимальное количество элементов, которое может содержать S

Answer 1

Оценим максимальное значение, которое может принимать элемент множества $S$. Предположим, что существуют хотя бы два элемента множества, больших $106$. Пусть это числа $m,\;n$. Положим $x=m,\; y=n$, тогда $mn+2<106n-130m \Leftrightarrow n(m-106)<-130m-2<0$, откуда $m<106$. Противоречие. Значит, существует не более одного числа, большего

Теперь становится ясно, как строить множество. Пусть максимальное число равно $106$. Тогда следующее по величине число меньше $\frac{106x-2}{x+130}$, где $x$ — текущее число (сейчас рассматривается максимальное число; оценка следует из исходного уравнения). То есть второе по величине число не превосходит $\frac{106\cdot 106-2}{106+130}\approx 47,6$. Берем 47. Далее: $\frac{106\cdot 47-2}{47+130}\approx 28,1$. Берем 28. И так далее. Получим множество $\{1,\;2,\;3,\;4,\;6,\;8,\;12,\;18,\;28,\;47,\;106\}$, состоящее из 11 элементов. Это и есть наш ответ.