Question

Решите данное неравенство

Answer 1

$\dfrac{\log_5(x^2-2x)}{\log_5x^4}\geq 0,25$

Область допустимых значений дроби:

$\log_5x^4\neq0; \ \ \Rightarrow\ \ x^4\neq 1; \ \ \Rightarrow\ \ \boldsymbol{x\neq \pm 1}$

Область допустимых значений логарифмических выражений:

$\displaystyle\left \{ {{x^2-2x>0} \atop {x^4>0}} \right. \ \ \Rightarrow\ \ \left \{ {{x(x-2)>0} \atop {x\neq 0}} \right. \ \ \Rightarrow\ \ \left \{ {{\left [ {{x<0} \atop {x>2}} \right. } \atop {x\neq 0}} \right.$

ОДЗ: $x\in(-\infty;-1)\cup(-1;0)\cup(2;+\infty)$

=================================

Воспользуемся формулой:

$\dfrac{\log_ca}{\log_cb}=\log_ba;\ \ \ \ a>0,\ b>0,\ b\neq 1$

=================================

$\log_{x^4}(x^2-2x)\geq 0,25\\\\\log_{x^4}(x^2-2x)- 0,25\geq 0$

Заменим логарифмическое неравенство равносильным с учетом ОДЗ (метод рационализации):

$\Big((x^2-2x)-\big(x^4\big)^{0,25}\Big)\Big(x^4-1\Big)\geq 0\\\\\Big(x^2-2x-|x|\Big)\Big(x^4-1\Big)\geq 0\\\\\Big(x^2-2x-|x|\Big)\Big(x^2-1\Big)\Big(x^2+1\Big)\geq 0$

Третья скобка всегда положительна, на общий знак выражения не влияет, можно опустить.

$\Big(x^2-2x-|x|\Big)\Big(x^2-1\Big)\geq 0\\\\\Big(x^2-2x-|x|\Big)\Big(x-1\Big)\Big(x+1\Big)\geq 0$

1) Раскрываем модуль для положительных значений x:

$\Big(x^2-2x-x\Big)\Big(x-1\Big)\Big(x+1\Big)\geq 0\\\\\Big(x^2-3x\Big)\Big(x-1\Big)\Big(x+1\Big)\geq 0\\\\x\Big(x-3\Big)\Big(x-1\Big)\Big(x+1\Big)\geq 0\\\\+++[-1]---[0]+++[1]---[3]+++++>x\\\\x>0\ \ \ \Rightarrow\ \ \ x\in(0;1]\cup[3;+\infty)$

С учетом ОДЗ:  $x\in[3;+\infty)$

2) Раскрываем модуль для отрицательных значений x:

$\Big(x^2-2x+x\Big)\Big(x-1\Big)\Big(x+1\Big)\geq 0\\\\\Big(x^2-x\Big)\Big(x-1\Big)\Big(x+1\Big)\geq 0\\\\x\Big(x-1\Big)\Big(x-1\Big)\Big(x+1\Big)\geq 0\\\\+++[-1]---[0]+++[1]+++++>x\\\\x<0\ \ \Rightarrow\ \ x\in(-\infty;-1]$

С учетом ОДЗ:  $x\in(-\infty;-1)$

Ответ: $\boldsymbol{x\in(-\infty;-1)\cup[3;+\infty)}$