Question

Если длины сторон треугольника равны 8 см, 4 см, 6 см, то найди радиус окружности, описанной около треугольника.
Помогите даю 50 баллов пожалуйста

​

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{\underline {16}\sqrt{15} }{15}$

Объяснение:

1 способ.

Рассмотрим треугольник ABC.

AB=4 см,BC=6 см, AC=8 см.

Найдем площадь треугольника по формуле Герона.$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$p=\dfrac{a+b+c}{2}$

где$a,b,c-$ стороны треугольника.

$p=\dfrac{4+6+8}{2} =\dfrac{18}{2} =9$ см.

Тогда найдем площадь.

$S=\sqrt{9(9-4)(9-6)(9-8} =\sqrt{9\cdot5\cdot3\cdot1} =3\sqrt{15}$ см²

Радиус окружности, описанной около треугольника найдем по формуле.

$R=\dfrac{abc}{4S} ;\\\\R=\dfrac{4\cdot6\cdot8}{4\cdot3\sqrt{15} } =\dfrac{16}{\sqrt{15} } =\dfrac{16\sqrt{15} }{15}$   см.

2 способ.

Найдем косинус угла В.

По теореме косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

$AC^{2} =AB^{2} +BC^{2} -2\cdot AB\cdot BC\cdot cosB;\\8^{2} =4^{2} +6^{2} -2\cdot4\cdot6\cdot cosB;\\64=16+36-48cosB;\\48cosB=52-64;\\48cosB=-12;\\cosB=-\dfrac{12}{48} ;\\cosB=-\dfrac{1}{4}$

Найдем синус угла В. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством.

$sin^{2} B+cos^{2} B=1;\\sin^{2} B=1-cos^{2} B;\\sinB=\sqrt{1-cos^{2} B} ;\\sinB=\sqrt{1-\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{2} } =\sqrt{1-\dfrac{1}{16} }= \sqrt{\dfrac{15}{16} } =\dfrac{\sqrt{15} }{4}$

Найдем радиус окружности, описанной около треугольника по формуле:

$R=\dfrac{a}{2sin\alpha }$

где α - угол, лежащий напротив стороны а.

$R=\dfrac{AC}{2sinB} ;\\\\R=\dfrac{8}{2\cdot \dfrac{\sqrt{15} }{4} } =\dfrac{8\cdot4}{2\sqrt{15} } =\dfrac{16}{\sqrt{15} } =\dfrac{16\sqrt{15} }{15}$