Question

В футбольном турнире участвовало n команд высшей лиги и 2n команд первой лиги. Каждая команда сыграла ровно одну
игру с каждой другой командой. Отношение числа побед, одержанных командами первой
лиги, к числу побед, одержанных командами высшей лиги, равно 5:7. Найдите n, если известно, что ничьих в турнире не было.

Answer 1

Судя по задаче полагается то , что они играли не зависимо за какую именно . 
Посчитаем сколько вообще было встреч , у команды первой лиги команд в 2 раза больше так как $2n$  . 
Посчитаем отдельно каждую встречу внутри команд ,и между разными командами.  
По первой лиги это число сочетаний 
$C^{2}_{2n}=frac{(2n)!}{2!(2n-2)!}=frac{(2n-1)*2n}{2}$
По высшей лиги это число сочетаний 
$C^2_{n}=frac{n!}{2!(n-2)!}=frac{ n(n-1) }{2}$
а между собой очевидно 
$2n^2$
в сумме 
$2n^2+frac{n(n-1)}{2}+frac{(2n-1)2n}{2}=frac{9n^2-3n }{2}=frac{3n(3n-1)}{2}$ встреч. 
Если не было ничьи то очевидно одно из двух 
1) либо  команда проиграет 
2) либо команда выиграет 
Число выигрышей и проигрышей будет равна количеству сыгранных игр .
То есть если всего у команда $5x;7x$ побед
то $12x=frac{3n(3n-1)}{2}$
пусть количество выигрышей команды первой лиги равна $y$ , то другой 
$frac{3n(3n-1)}{2}-y$
$frac{y}{frac{3n(3n-1)}{2}-y}=frac{5}{7}\ 14y=45n^2-15n-10y\ 24y=45n^2-15n\ 8y=15n^2-5n\ y=frac{5n(3n-1)}{8}$
что бы число делилось на 8 , очевидно что n либо само должно быть кратно 8 , либо $3n-1$  должно делится на 8 , подходит  $n=3$
при нем все выполняется