Question

Можно ли найти значение выражения sin2A+sin2B+sin2C если известны площадь треугольникка АВС и радиус описанного круга?

Answer 1

Преобразуем   
$sin2a+sin2b+sin2c=\ 2sina*cosa+2sinb*cosb+2sinc*cosc\\ a+b+c=180\ b=180-a-c\ 2sina*cosa+2sin(180-(a+c))*cos(180-(a+c))+2sinc*cosc=\ 2sina*cosa-2sin(a+c)*cos(a+c)+2sinc*cosc=$
 преобразовывая получаем 
$4sina*sinc*sin(a+c)\ a+c=180-b\ 4sina*sinc*sinb\ sin2a+sin2b+sin2c=4sina*sinb*sinc$
а так как площадь треугольника вычисляется по формуле 
$S=2R^2*sina*sinb*sinc\ sina*sinb*sinc=frac{S}{2R^2}\ sin2a+sin2b+sin2c=frac{4S}{2R^2}$